How is the word "gather/bring into refuge" related to the root עז?

ANSWER: I can’t get to all those words right now, but Rav Hirsch and Shem MiShmuel do connect עז and עזות:

רשר”ה בראשית טו:ט קחה לי עגלה משולשת ועז משולשת – ה’עֵז’ כּשׁמָהּ: עזה, תקיפה וקשה. היא רכה ונכנעת רק כלפי אדוניה, אך מאיימת בקרניה על כל זר. היא מסמלת אפוא את כח ההתנגדות. רשר”ה שמות יב:ד-ו ד”ה ומן העזים תקחו – ניתן לבחור בין כבש לעז. העז- תכונתה האופינית היא העצמאות הגדולה יותר כלפי חוץ; מכאן ‘עז’ = לגלות התנגדות עזה: העז חושפת את קרניה לכל זר, אך כלפי הרועה היא צייתנית ונכנעת, ככבש. שם משמואל פ’ ויצא – ועזים נגזר מלשון עוז, יש בו ענין החוזק והעוז.

And the Rishonim (Ibn Ezra, Chizkuni, and Toldos Yitzchak) give a similar explanation to the name of the bird called עזניה: אבן עזרא וי’ יא:יד – ואת הפרס ואת העזניה – ועזניה מן עוז וה’נ’ נוסף; חזקוני וי’ יא:יג – העזניה – אורפרי”ש ועל שם עזותה ועקשותה נקראת כך; תולדות יצחק (שם): עזניה היא עזה וחזקה לדרוס.

Note that while the wordsעז (goat), עוז (strength) and העז (gather) comprise the three subsections of root עז according to Menachem, not so according to Ribag and Radak, who list them respectively as עז, עזז andעיז , with neither hinting to any connection between them.

Cheshek Shlomo differentiates between כח and עוז in that the former represents raw power, i.e. muscles, weapons, etc., while עוז on the other hand signifies אימוץ הלב, meaning courage, confidence, an iron will. I believe it’s not unreasonable to see a connection between these three meanings. True strength of will is to be had only by one who single-mindedly concentrates all his powers in achieving a goal, just as victory is to be had by an army only if it is a united, concentrated force. Interesting to note that a switch of the letters yields זע, a violent, forceful movement, perhaps reflecting that such power emanates from the concentrated עוז which was garnered previously.

Rabbi Yehoshua (Jeremy) Steinberg